X1^5-X2^5

a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1)]

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证明过程：
设0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1^5-x2^5
=(x1-x2)(x1^4+x1^3x2+x1^2x2^2+x1x2^3+x2^4)
因为x1<x2，x1>0，x2>0
所以x1-x2<0，x1^4+x1^3x2+x1^2x2^2+x1x2^3+x2^4>0
所以f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
f(x)在(0,+∞)上是增函数
又f(-x)=(-x)^5=-x^5=f(x)
所以f(x)是奇函数
所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数
又f(x)=x^5是连续函数
所以函数是R上的增函数

很简单的。
在那里面添加一项就好了。
X15-x25=x15-x12x23+ x12x23- x25=(x1-x2)(x14+x13x2+x12x22+x1x23+x24)最后，可以看出，为增函数。

分组讨论
0＜X1＜X2，对任意正数，X1＜X2，分别乘以X1和X2，则X1^2＜X1X2＜X2^2
X1^5＜(X1^4)X2＜(X1^3)X2^2＜(X1^2)X2^3＜X1X2^4＜X2^5

X1＜0＜X2
X1^5＜0＜X2^5

X1＜X2＜0，那么存在
X1^4＞0，X2^4＞0，X1X2＞0，X1^2X2^2＞0，X1^3X2＞0，X1X2^3＞0
对于X1＜X2＜0
乘以X1^4，可得，X1^5＜X1^4X2＜0
乘以X1^3X2，可得，X1^4X2＜X1^3X2^2＜0
乘以X1^2X2^2，可得，X1^3X2^2＜X1^2X2^3＜0
乘以X1X2^3，可得，X1^2X2^3＜X1X2^4＜0
乘以X2^4，